[IME 1974] Para cada inteiro k≥0 seja fk:R→R ...

07 IME 1974 - Matemática

Para cada inteiro $k \geq 0$ seja $f_{k} : R \to R$ tal que: $f_{0} (x) = x + ln (x^{2} + 1 - x), \forall x \in R$ e se $k > 0$ , $f_{k} (x) = \frac{x + ln ( x ^{2} + 1 - x )}{x ^{k}}, \forall x \in R_{0} = R - {0}$
e $f_{k} (0) = a$ .

a) Desenvolva $f_{0} (x)$ em série de potências de $x$ até o termo de quarta ordem.

b) Determine os valores de $k$ para os quais $lim_{x \to 0} f_{k} (x)$ existe e é finito e calcule os valores de $a$ de modo que $f_{k}$ seja contínua.