IME 1973 Matemática - Questões

Dada a curva de equação 

$5x^2 - y^2 + 6xy + 4x + 8y + 10 = 0$

obtenha as equações dos seus eixos de simetria. 

Do vértice $A$ do triângulo $ABC$, traçam-se a mediana $\overline{AD}$ e a bissetriz $\overline{AE}$. Considere a circunferência circunscrita ao triângulo $ADE$, que corta $\overline{AB}$ em $B '$ e $\overline{AC}$ em $C '$. Prove que $\overline{BB '} = \overline{CC '}$.

Dado o sistema $\begin{cases} 4x_1 - 4x_2 - 17x_3 + 17x_4 + 4x_5 - 4x_6 = 0 \\ x_1 - mx_2 = 0 \\ x_2 - mx_3 = 0 \\ x_3 - mx_4 = 0 \\ x_4 - mx_5 = 0 \\ x_5 - mx_6 = 0\end{cases}$
Determine os valores de $m$ para os quais $x_i \ne 0$, com $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

Um quadrado $ABCD$ está inscrito numa circunferência de centro $O$ e raio $R$. Um ponto variável $M$ se desloca sobre o arco $ADC$ tal que $\overline{MB}$ corta $\overline{AC}$ em um ponto $P$, também variável; qualquer que seja a posição do ponto $M$, $\overline{MB}$ é bissetriz do ângulo $A \hat{M} C$ e os triângulos $MBC$ e $MAP$ são semelhantes; para uma posição $M' $ do ponto $M$, $P$ ocupa a posição $P '$, tal que os triângulos $M' BC$ e $M ' AP '$ são iguais. Pedem-se 

Considere os algarismos $1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4{,} \ 5$. Uma das permutações possíveis destes algarismos origina o número $42351$. Determine a soma dos números formados, quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.