IME 1972 - Questões
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Dado um cilindro circular reto de raio da base igual a $r$, secciona-se o mesmo por um plano $P$ que passa pelo centro da base formando um ângulo $\hat{A} < 90^{\circ}$ com a mesma. Determine a área da superfície cilíndrica compreendida entre os planos $P$ e o da base.
Seja $A$ um conjunto não vazio e $R$ uma relação em $A$, reflexiva e transitiva. Definimos a relação $S$, em $A$, por:
$xSy$ se e somente se $xRy$ e $yRx$
a) Mostre que $S$ é uma relação de equivalência em $A$. Caracterize as classes de equivalência determinadas por $S$ em $A$, quando R é uma relação de ordem.
b) Determine explicitamente o conjunto quociente $A/S$, quando$$R = [(A \cap B) \times (A \cap B)] \cup [(A - B) \times (A - B)]{,}$$onde $B$ é um conjunto não vazio.
Sejam $b \in Z_+$, $b > 1$ e $M \in N$. Suponhamos $M$ expresso sob a forma$$M = a_{p}b^p + a_{p-1}b^{p-1} + \ldots + a_2b^2 + a_1b^2 + a_0$$onde os coeficientes satisfazem a relação$$0 \leq ai \leq b - 1, \forall i \in {0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ldots{,} \ p}$$
Dizemos, então, que a representação de $M$ na base de numeração $b$ é$$M = (a_{p}a_{p-1} \cdots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}{,}$$onde o índice $b$ indica a base considerada.
a) Determine, com a notação exposta acima, a representação de $1347$ na base $10$ e de $929$ na base $5$.
b) Determine em que base(s) de numeração é verificada a igualdade$$(2002)_b + (21)_5 = (220)_b + (1121)_b$$
c) Mostre que se $M = (14641)_b$, então independentemente da base considerada, $M$ é quadrado perfeito. Determine a representação de $\sqrt{M}$ na base $(b + 1)$.
Determine a representação de $M = (14654)_b$ na base $(b + 1)$.
Prove, aplicando o Princípio da Indução, que se $n \in \mathbb{N}$ e $p \in \mathbb{Z}_+$ é um número primo, então $n^p – n$ é divisível por $p$.
Seja $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por$$\sum^{i = \infty}_{i=|)x(|} \frac{x}{a^i} {,} \ \forall x \in \mathbb{R}$$onde $a > 1$ é uma constante fixada. Determine, justificando:
a) Os pontos de descontinuidade de $f$.
b) O domínio da função $f^{\prime}$, derivada de $f$.
c) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f$.
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