IME 1959 Matemática - Questões
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Determinar o significado da expressão $ e^{\lambda+2\pi i \cdot K} $ e achar as expressões trigonométricas e algébricas equivalentes, sabendo-se que $\lambda$ é ordenada do ponto em que a curva $ y = f(x) $ corta o eixo dos $y$, sendo $ f(x)$ um polinômio do terceiro grau que passa por um mínimo igual a $2$ para $x=1$ e cujo resto da divisão por $x^2 + 3x + 2$ é igual a $ (-x +3) $.
Num triângulo retângulo conhecem-se a hipotenusa $a$ e o produto $m^2$ das bissetrizes interiores dos ângulos $B$ e $C$. Pedem-se:
a) O valor do produto $ \sin B/2 \cdot \sin C/2$.
b) Calcular os ângulos do triângulo e discutir o valor de $m$.
c) Demonstrar que, se $O$ é o ponto de encontro das bissetrizes, $BO.CO = m^2/2$.
Determinar a equação do círculo de centro $O(0, \ 1)$ e cujo raio é a média aritmética entre os extremos do menor intervalo possível no qual está compreendida a única raiz real positivo da equação : $x^4 + 16x^2- 8x-2=0$.
Um transmissor e um receptor de rádio estão situados a alturas $h_1$ e $h_2$, respectivamente, do solo e distantes entre si de $d$. A onda direta propaga-se segundo $AB$ e a onda refletida segundo $AMB$, formando em $M$ ângulos $\theta$ iguais com o plano do solo. Pedem-se:
a) Expressar a diferença de percursos $AMB – AB$, entre a onda refletida e a direta, em função de $d$, $h_1$, $h_2$.
b) Dados $ \theta = 30^\circ$, $h_1 = 3,0 m$ e $h_2 = 5,0 m$, determinar o comprimento $MD$. O ponto $D$ divide a reta $AB$ na razão $\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} = 2/3$.
Resolver:$$ \begin{align*} 2\log x + 2\log y &= p \\ ax+by &=q \end{align*} $$
Sabendo-se que
(i) $p$ é o valor positivo do parâmetro $m$ para o qual as raízes da equação $x^4-(3m+2)x^2+ m^2 = 0 $ formam uma progressão aritmética.
(ii) $q$ é o dobro do coeficiente do $3^{o}$ termo do desenvolvimento de $ (1+x)^n$ no qual os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos estão em progressão geométrica.
(iii) $a=10^{-1}$; $b= 10^{-2}$.
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