IME 1958 Matemática - Questões

Derivar a função: $$ y = \log_{x}{(ex)^{x}}$$

Dado um círculo de raio $R$ e um ponto $A$ no seu interior, traça-se por esse ponto uma corda, de modo que o ponto $A$ divida essa corda em média extrema razão. Estabelecer a expressão da distância dessa corda ao centro do círculo. Discutir a solução.

Sendo $ a> 1$ e $b> 1$, estabelecer a relação entre $a$ e $b$ na equação: $$ a^{\log b}.a^{\log b^2}.a^{\log b^3}.a^{\log b^4}....a^{\log b^x} = b^{6x \log a – 0,5.\log b} $$para que, sendo $x_1$ e $x_2$ raízes da equação, se verifique a igualdade$$ \log x_1 = 1- \log x_2 $$

Determinar as relações que devem existir entre os ângulos $M$, $N$, e $P$, para que severifique a igualdade:$$ \cos ^2M + \cos ^2N + \cos ^2P + 2\cos M \cos N \cos P = 1 $$

Sendo $p$ uma raiz complexa de uma equação algébrica do $2^\circ$ grau, de coeficientes reais, determinar o valor da expressão:$$ P = \frac{p+q}{pq}. \frac{p^2+q^2}{p^{2}q^{2}}. \frac{p^{3}+q^{3}}{p^{3}q^{3}}.\frac{p^{4}+q^{4}}{p^{4}q^{4}}.... \frac{p^{n}+q^{n}}{p^{n}q^{n}} $$

onde $q$ é a outra raiz da equação, em função do módulo e do argumento do complexo $p$.