IME 1957 - Questões
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Sabe-se que $m$ e $p$ são respectivamente as bases de dois sistemas de logaritmos, onde cada sistema é representado por duas progressões - uma geométrica e outra aritmética - correspondentes termo a termo. Esses sistemas estão caracterizados abaixo, onde se apresentam alguns termos correspondentes das progressões:
Base $m$
$0$ | $0,5$ | $1$ | $3$ | $7$ | $10$ | $75$ | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
$-\infty$ | $-0.43068$ | $0$ | $0,68547$ | $1,20908$ | $1,43068$ | $2,68547$ | $\infty$ |
Base $p$
$0$ | $0,7$ | $1$ | $3$ | $6$ | $7$ | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
$-\infty$ | $-0.15490$ | $0$ | $0,47712$ | $0,77815$ | $0,84510$ | $\infty$ |
Pedem-se:
1º Calcular:
a) As bases $m$ e $p$ dos sistemas de logaritmos dados, justificadamente.
b) O valor numérico da expressão $\log{\sqrt[3]\frac{125}{2}}$.
2º Supondo conhecido apenas o sistema de base $p$:
a) Resolver a equação $$\log_5{2^{-x}+5^{\log_5{0,43068x^2}}}=0$$
3º Dada a equação $x^3-10x+\log_m{K}=0$:
a) Determinar os valores de $K$ para os quais a equação admite uma das raízes igual à soma dos inversos das outras duas.
b) Discutir os sinais das raízes para esses valores de $K$.
Três complexos $a$, $b$ e $c$ possuem como pontos representativos (ou afixos) os vértices de um triângulo equilátero. Demonstrar, calculando o seu valor, que a expressão $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ é independente da posição do triângulo no plano. Calcular este valor.
Determinar o lugar geométrico representado pela equação$$\begin{vmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}\times\begin{vmatrix}x&y&1\\x_3&y_3&1\\x_4&y_4&1\end{vmatrix}=0$$sem desenvolver os determinantes.
Determinar o intervalo de convergência da série $$x-\frac{1}{2.3}x^3+\frac{1.3}{2.4.5}x^5-\frac{1.3.5}{2.4.6.7}x^7+\frac{1.3.5.7}{2.4.6.8.9}x^9-\cdots$$
justificando. Dizer quantos termos desta série devemos considerar quando desejamos calcular o valor de sua soma para $x = −0,5$ com um erro cujo valor absoluto é menor que $1/300$. Justificar.
Dá-se a função $$f(x)=\ln{\frac{x(5-x)}{\sqrt{x^2-5x+6}}}$$ Pedem-se:
a) Determinar os valores de $x$ para os quais $f(x)$ é definida (campo de definição da função).
b) Dizer, justificando, se $f(x)$ é derivável no ponto $x =6$ e se a função referida admite, para algum valor finito de $x$, derivada infinita.
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