[IME 1957] Sabe-se que m e p são respectivamen...

03 IME 1957 - Matemática

Sabe-se que $m$ e $p$ são respectivamente as bases de dois sistemas de logaritmos, onde cada sistema é representado por duas progressões - uma geométrica e outra aritmética - correspondentes termo a termo. Esses sistemas estão caracterizados abaixo, onde se apresentam alguns termos correspondentes das progressões:

Base $m$

$0$	$0, 5$	$1$	$3$	$7$	$10$	$75$	$\infty$
$- \infty$	$- 0.43068$	$0$	$0, 68547$	$1, 20908$	$1, 43068$	$2, 68547$	$\infty$

Base $p$

$0$	$0, 7$	$1$	$3$	$6$	$7$	$\infty$
$- \infty$	$- 0.15490$	$0$	$0, 47712$	$0, 77815$	$0, 84510$	$\infty$

Pedem-se:

1º Calcular:

a) As bases $m$ e $p$ dos sistemas de logaritmos dados, justificadamente.

b) O valor numérico da expressão $\log{\sqrt[3]\frac{125}{2}}$ .

2º Supondo conhecido apenas o sistema de base $p$ :

a) Resolver a equação $lo g_{5} 2^{- x} + 5^{l o g_{5} 0, 43068 x^{2}} = 0$

3º Dada a equação $x^{3} - 10 x + lo g_{m} K = 0$ :

a) Determinar os valores de $K$ para os quais a equação admite uma das raízes igual à soma dos inversos das outras duas.

b) Discutir os sinais das raízes para esses valores de $K$ .