IME 1953 Matemática - Questões
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a) Dada a expressão:
$$ x = \frac{(1,68)^{3/2}(0,0315)^{1/3}}{(11,2)^{5}} $$Calcular o $\log x $.
b) Sendo $$ y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$$ exprimir $x$, explicitamente, como função de $y$.
$\log 1,4 = 0,1461$
$\log 3 = 0,4771$
A função é uma função real de variável real.
Em um polígono regular de nove lados pedem-se:
a) Calcular trigonometricamente em função do lado $\ell$:
(i) O apótema $a$.
(ii) O raio $R$ do círculo circunscrito ao polígono.
b) Tomando-se um eixo de rotação $xx^\prime$ passando por um vértice da figura e pelo seu centro $O$, determinar em função de $\ell$:
(i) A superfície $S$ do sólido gerado pela revolução do polígono em torno de eixo $xx^\prime$.
(ii) O volume $V$ desse sólido.
Num congresso há $102$ representantes do partido $A$ e $81$ representantes do partido $B$. Para uma determinada sessão, foram convocados $99$ elementos do partido $A$ e $79$ do partido $B$. De quantas maneiras poderia ter sido efetuada tal convocação?
Um tetraedro regular de aresta $a$ e uma esfera de raio $\rho$ interceptam-se de tal modo que a superfície esférica tangencia as seis arestas do poliedro em seus pontos médios. Pedem-se:
a) Calcular o raio $\rho$ em função da aresta $a$.
b) Emprimir em função de $\rho$ o produto do raio $R$ da esfera circunscrita ao tetraedro pelo raio $r$ da esfera inscrita: $R \times r =f(p)$.
c) Calcular em função de $\rho$ a parte do volume da esfera que fica situada externamente ao tetraedro.
Dado o sistema: $$\begin{cases} 2x-y + 3z = b \\ z + 2y - z = 6 \\ ax + y + 7z = 3 \end{cases}$$
a) Empregando o Teorema de Rouché, determinar $a$ e $b$ de maneira que o sistema seja indeterminado.
b) Com o emprego dos determinantes, e tendo em vista os valores encontrados para $a$ e $b$, resolver o sistema, expressando $x$ e $y$ em função de $z$.
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