IME 1950 Matemática - Questões
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a) Sendo $Y =\frac{1}{Z}=G-iB$ e $Z=R+iX$, onde $i=\sqrt{-1}$ e $G$, $B$, $R$ e $X$ são quantidades reais, determinar $G$ e $B$ em função de $R$ e $X$.
b) Calcular
(i) $$e^{\frac{2{\pi}}{3}i}$$
(ii)$$e^{\frac{1}{2}log_e{3}}$$
onde $e = 2,71828 . . .$, $π = 3,14159 \cdots$, $i =\sqrt{-1}$.
c) Transformar o determinante
$$\Delta=\begin{vmatrix}\,f_1. cos\theta + g_1.sen\theta & \,f_2. cos\theta + g_2.sen\theta\\ -f_1.sen\theta + g_1. cos\theta &-f_2.sen\theta + g_2. cos\theta\end{vmatrix}$$
no produto de dois determinantes. Calcular, então o valor de $\Delta$.
d) Escrever o termo geral da série
$$x-\frac{1}{2}.\frac{x^3}{3}+\frac{1.3}{2^2.2!}.\frac{x^5}{5}- \frac{1.3.5}{2^3.3!}.\frac{x^7}{7}+...$$
e) Aplicando o critério da relação, determinar a natureza da série cujo termo geral é
$$u_n=\frac{1}{n^{n+2}}$$
f) Resolver a equação
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2+x\end{vmatrix}=0$$
a) Quais são os poliedros regulares? Caracterizar cada um dos poliedros regulares pelo número $F$ de faces, pelo número $n$ de lados de cada face e pelo número $p$ de arestas de cada ângulo sólido.
Nome do poliedro | $F$ | $n$ | $p$ |
|---|---|---|---|
b) Superfícies homólogas de dois sólidos semelhantes são respectivamente iguais a $45$ e $80$ cm$^2$. Se o volume do primeiro sólido é de $30$ cm$^3$, qual o volume $V_2$ do segundo?
c) Calcular o volume $V$ de um octaedro regular inscrito em um cilindro equilátero de raio $r$. Construir um esboço deste octaedro.
d) Um retângulo $ABCD$ gira em torno de um eixo $Y^\prime Y$ , situado no seu plano e paralelo ao lado $AD$. Determinar a área total $A$ do sólido gerado, em função das dimensões indicadas na figura, onde $d>\frac{b}{2}$ é a distância do centro do retângulo ao eixo de rotação.
e) Traçar os círculos que passam pelo ponto $A$ e são tangentes às retas $L_1$ e $L_2$.
f) Sobre a superfície de uma esfera tem-se um ponto fixo $M$ e um ponto móvel $P$. Qual o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos $MP$? Por quê? Qual o volume $V$ do sólido limitado por esse lugar geométrico, em relação ao volume da esfera?
Sendo $F(x) = \frac{2e^x}{(1+4e^{2x})^{\frac{3}{2}}}$, achar a derivada $F^\prime(x)$, dando o resultado na forma mais simples. Calcular, com três algarismos decimais, o valor real de $x$ que anula $F^\prime(x)$.
$log_{10}{2} = 0,3010$
$log_e {10} =2,3026$.
Dois cones retos circunscritos a uma mesma esfera de raio $r$ têm volumes iguais.
a) Determinar a altura $H$ de um dos cones quando se conhece a altura $h$ do outro. Exprimir o resultado em função de $r$ e $h$.
b) Para que valor de $h$ a solução $H = h$ será única? Determinar, nesse caso, a relação entre a superfície total do cone e a superfície da esfera.
Discutir e resolver, com emprego de determinantes o sistema$$\begin{cases}4x + 3y + 2z = 16\\3x + 4y + 5z = 33\\x + y + z = 7\end{cases}$$
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