a) Sendo $Y=\frac{1}{Z}=G-iB$ e $Z=R+iX$, onde $i=\sqrt{-1}$ e $G$, $B$, $R$ e $X$ são quantidades reais, determinar $G$ e $B$ em função de $R$ e $X$.

b) Calcular

(i) $$e^{\frac{2\pi }{3}i}$$

(ii)$$e^{\frac{1}{2}lo{g}_{e}3}$$

onde $e=2,\mathrm{71828...}$, $\pi =3,14159\cdots$, $i=\sqrt{-1}$.

c) Transformar o determinante

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{f}_1.cos\theta +g_1.sen\theta & f_2.cos\theta +g_2.sen\theta \\ -f_1.sen\theta +g_1.cos\theta & -f_2.sen\theta +g_2.cos\theta \end{array}\right|$$

no produto de dois determinantes. Calcular, então o valor de $\Delta$.

d) Escrever o termo geral da série

$$x-\frac{1}{2}.\frac{x^3}{3}+\frac{1.3}{2^2.2!}.\frac{x^5}{5}-\frac{\mathrm{1.3.5}}{2^3.3!}.\frac{x^7}{7}+...$$

e) Aplicando o critério da relação, determinar a natureza da série cujo termo geral é

$$u_n=\frac{1}{n^{n+2}}$$

f) Resolver a equação

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2+x\end{array}\right|=0$$