IME 1947 - Questões

a) O limite da função $\frac{senx}{x}$, quando $x$ tende para zero, tem alguma importância no estudo de derivadas? Por quê? Qual o seu valor quando o arco é medido em radianos? E se o arco for medido em graus?

b) Achar as derivadas de $1ª$ e $2ª$ ordens, em relação a $y$, da função:

$$ x = a \left[ arcos\left( \frac{a-y}{a} \right) \right] - \sqrt{2ay-y^2}$$

Achar também as derivadas de $1ª$ e $2ª$ ordens da função inversa em relação a $x$. Simplificar os resultados.

a) Para que valores de $x$ será convergente a série cujo termo geral é:

$$\frac{x^n}{n\cdot 3^n}$$

b) Achar os valores de $k$, $m$ e $n$ que satisfaçam a identidade:

$$ k(x+5y-3z)+m(2x-2y+6z)-n(7x+11y+3z)=0$$

a) Resolver a equação

$$ \log\sqrt{5x +1} - \log\sqrt{7x +4} = 1 + \log2$$

b) Dada a equação:

$$ (m-1)x^2-(m+5)x-m=0$$

Pedem-se:

• (i) Dizer para que valores do parâmetro $m$ a equação terá raízes reais.

• (ii) Achar os valores de $m$ para os quais as duas raízes da equação sejam de sinais contrários.

c) Aplicando a teoria das equações de raízes iguais, determinar as raízes simples e múltiplas da equação:

$$x^4+2x^3-12x^2-40x-32=0$$

a) A cotangente de um ângulo sendo $ 1+\sqrt2$, calcular a secante do dobro deste ângulo.

b) Resolver a equação:$$ \cos2x = \frac{1+\sqrt3}{2}( \cos x - \ sen x )$$

c) Calcular numericamente as raízes cúbicas de $(-i)$ e graficamente as raízes quintas de $(-i)$.

a) A altura de um cone circular reto é o dobro do raio $R$ da base. Calcular o volume da esfera circunscrita, em função do raio R acima.

b) Calcular o volume de uma coluna de $10$ metros de altura tendo a seção reta com a da figura $ABCD$ anexa, obtida do seguinte modo: com centro em cada vértice de um quadrado, e com um raio R igual ao lado do quadrado, descreve-se um quarto de círculo. A figura apresenta em hachurado a seção $ABCD$ a considerar. Aplicar para $R= 2,5 m $.