IME 1945 Matemática - Questões
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a) Determinar $m$ e $n$ de modo que as equações:
$ (2n + m)x^2-4mx-3=0$
$ (6n + 3m)x^2 − 3(n − 1)x − 9 = 0$
tenham as mesmas raízes.
b) Discutir e resolver, nos casos de possibilidades, o sistema:
$ ax − by = 7$
$ 2x + 5y = 1$
com emprego de determinantes.
c) Em uma reunião há $7$ pessoas e $9$ cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas?
Determinar, em metros quadrados, a área de um trapézio homotético à seção meridiana de um tronco de cone de revolução circunscrito a uma esfera, sabendo-se que o volume do tronco de cone é o dobro do volume da esfera. A relação de homotetia é igual a $3$. A medida do raio da esfera é de $10,0$ cm com um erro relativo de ±$1%$
Sendo $ a + bi = (x + iy)^7$, pedem-se, no caso de $ x = 1$ e $ y = −1$:
a) Módulo e argumento do complexo $ a + bi$
b) Representação geométrica das potências sucessivas do complexo $ x + iy$, desde a primeira até a sétima, inclusive.
a) Sendo uma pirâmide seccionada por um plano paralelo à base, a que distância do vértice deve passar esse plano para que a pirâmide fique dividida em dois sólidos de volumes equivalentes?
b) Dados os lados de um triângulo plano $a = 5\ m$, $b = 6\ m$ e $c = 9\ m$, calcular:
(i) As tangentes dos ângulos.
(ii) A área do triângulo.
(iii) A área do círculo inscrito.
a) Indicar, justificando, a convergência ou divergência das séries:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(log\,n)^n}$
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+\pi)}$
b) O logaritmo de $20$ sendo $1,30103$, determinar o de $(0,08)^{1/8}$.
c) Achar a derivada da função:
$y=\frac{x}{m-nx^2}$,
reduzindo-a à forma mais simples.
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