IME 1945 - Questões

a) Indicar, justificando, a convergência ou divergência das séries:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(log\,n)^n}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+\pi)}$

b) O logaritmo de $20$ sendo $1,30103$, determinar o de $(0,08)^{1/8}$.

c) Achar a derivada da função:

$y=\frac{x}{m-nx^2}$,

reduzindo-a à forma mais simples.

a) Módulo e argumento do complexo $ a + bi$

b) Representação geométrica das potências sucessivas do complexo $ x + iy$, desde a primeira até a sétima, inclusive.

a) Determinar $m$ e $n$ de modo que as equações:

$ (2n + m)x^2-4mx-3=0$

$ (6n + 3m)x^2 − 3(n − 1)x − 9 = 0$

tenham as mesmas raízes.

b) Discutir e resolver, nos casos de possibilidades, o sistema:

$ ax − by = 7$

$ 2x + 5y = 1$

com emprego de determinantes.

c) Em uma reunião há $7$ pessoas e $9$ cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas?

a) Sendo uma pirâmide seccionada por um plano paralelo à base, a que distância do vértice deve passar esse plano para que a pirâmide fique dividida em dois sólidos de volumes equivalentes?

b) Dados os lados de um triângulo plano $a = 5\ m$, $b = 6\ m$ e $c = 9\ m$, calcular:

    (i) As tangentes dos ângulos.

    (ii) A área do triângulo.

    (iii) A área do círculo inscrito.