ESPCEX 2013 Matemática - Questões

Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, $A$ (uma árvore que ele observou na outra margem) e $B$ (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto $C$ distante $\pu{9 metros}$ de $B$, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto $B$ seja reto e obteve uma medida de $\dfrac{\pi}{3}$ para o ângulo $A\widehat{C}B$. Qual foi a largura do rio que ele encontrou?

Em um treinamento da arma de Artilharia, existem $3$ canhões $A, B e C$. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de $360^\circ$. Sabendo que as distâncias entre $A$ e $B$ é de $\pu{9 km}$, entre $B$ e $C$ é de $\pu{8 km}$ e entre $A$ e $C$ é de $\pu{6 km}$, determine, em $\pu{km2}$, a área total que está protegida por esses $3$ canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si

Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número $360$, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de $12$ é:

Uma indústria produz mensalmente $x$ lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é $V(x) = 3x^{2} – 12x$ e o custo mensal da produção é dado por $C(x) = 5x^{2} – 40 x – 40$. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a