EN 2007 Matemática - Questões

Sejam $a$ e $b$ números reais não nulos tais que a equação $x^5 + 4x^4 - x^3 + (2a +b)x^2 +(a-b-3)x+(ab+2)=0$ admite duas e somente duas raízes nulas. Se $z=a+bi$ é um número complexo, então o argumento de $\dfrac{\overline{z}}{1+z}$ é

O valor mínimo relativo da função $f$, de variável real $x$, definida por $f(x)=\dfrac{a^2}{\sin^2 x}+\dfrac{b^2}{\cos^2x}$ , onde $a,b \in \mathbb{R}^{*}$, vale

Considere a função $f$, de variável real $x$, definida por $f(x)= \sin^6 x+\cos^6 x +m(\sin^4 x+\cos^4 x)$, onde $m\in\mathbb{R}$ é um valor que torna $f$ constante. A equação da circunferência tangente ao eixo $y$, cujo centro está no ponto de interseção das retas $-2mx+2y-5=0$ e $-x+4y-3=0$ é

Sendo $a$ o primeiro termo de uma progressão geométrica, $b$ o termo de ordem $(n+1)$ e $c$ o termo de ordem $(2n+1)$, então a relação entre $a$, $b$ e $c$ é

Na figura abaixo $ABC$ é um triângulo equilátero de lado $2r$ e $\overset{\huge\frown}{PQ}$, $\overset{\huge\frown}{PR}$ e $\overset{\huge\frown}{QR}$ são arcos de circunferência de raio $r$. Os segmentos $\overline{MN}$ e $\overline{CS}$ são perpendiculares ao segmento $\overline{NS}$ e $\overset{\huge\frown}{QRS}$ é uma semicircunferência de centro em $C$. Se $\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt2}{3}$ e a soma das áreas hachuradas mede $(\sqrt3-\frac{\pi}{2})r^2 +\frac{5}{9}$ então o valor de $r$ é