CN 2019 Matemática - Questões

Considere os três operadores matemáticos #, $\triangle$ e $\square$ tais que $a\#b = a^b$, $a\triangle b = \dfrac{a}{b}$ e $a\square b\square c = a+b+c$. Sabendo que $x$ é um número real, pode-se afirmar que o valor máximo inteiro que a expressão $[2(x\, \#\, 2)\square 8 x\square 23]\triangle[2(x\, \#\, 2)\square 8 x\square 11]$ assume é:

Seja $ABC$ um triângulo equilátero de lado $3$. Exteriormente ao triângulo, constroem-se três quadrados, sempre a partir de um lado do triângulo $ABC$, ou seja, no quadrado $Q_1$, $AB$ é um lado; no $Q_2$, $BC$ é um lado; e no $Q_3$, $AC$ é um lado. Com centro no baricentro $G$ do triângulo $ABC$, traça-se um círculo de raio $3$. A medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$ e nem ao triângulo $ABC$ é igual a:

Considere as afirmações a seguir.

1. I. Seja $P$ o conjunto dos números naturais pares positivos $P = \{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ ...\}$. A soma de parcelas distintas, formada pelos inversos dos elementos de $P$, desde 2 até $m$, com $m\in P$, terá como resultado um número inteiro.
   

2. II. Se $x$ é um número real e $x < 0$, então $\sqrt{x^2} = -x$.
   

3. III. A medida da corda determinada por uma reta numa circunferência é menor ou igual à medida do seu diâmetro.
   

Essas afirmações são, respectivamente:

Os elementos do conjunto $X$ são números naturais distintos formados apenas por algarismos iguais a $1$, ou seja, $X = \{1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ ...\}$, onde o maior elemento é formado por $2018$ algarismos iguais a $1$. Sabendo que $111111=15873\times 7$, determine a quantidade de elementos do conjunto $X$ que são divisíveis por $7$ e marque a opção correta.

Observe a figura a seguir.

Essa figura representa um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência maior, e circunscrito a uma outra circunferência menor de raio igual a $2\ \text{cm}$, onde se destacou a região com ângulo central de $120^\circ$. Sendo assim, é correto afirmar que a área total correspondente à parte sombreada mede, em $\text{cm}^2$: