CN 2017 Matemática - Questões

Considere uma circunferência de centro $O$ e raio $r$. Prolonga-se o diâmetro $AB$ de um comprimento $BC$ de medida igual a $r$ e, de $C$, traça-se uma tangente que toca a circunferência em $D$. A perpendicular traçada de $C$, a $BC$, intersecta a reta que passa por $A$ e $D$ em $E$. Sendo assim, a área do triângulo $ODE$ em função do raio é

Sejam as operações $\therefore$ e ${ \# }$ definidas no conjunto dos inteiros positivos, tais que $x\therefore y=2^{x} +y$ e $x\, { \# }\, y=x^{2} +xy-1$ . Determine o sucessor do número resultante da expressão $\left[\left(1{ \# }3\right)^{1{ \# }2} \right] \therefore \left[\left(1{ \# }2\right){ \# }\left(2{ \# 1}\right)\right]$ .

Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja feito de um metal que custa R$$\,5,00$ o centímetro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas "árvores", constroem-se segmentos de reta proporcionais a $3,\ 4$ e $5$. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$$\, 800,00$, qual o valor, em reais, de todo o emblema?

Um retângulo de lados medindo $6\;$cm e $10\;$cm deve ser dividido em triângulos retângulos que tenham pelo menos um lado com medida representada por um número inteiro. Quaisquer que sejam dois desses triângulos, eles terão, no máximo, um lado em comum. A maior quantidade de triângulos retângulos que se pode obter, nas condições apresentadas, é:

Seja o quadrado $ABCD$ de lado $2$. Traça-se, com centro no ponto $M$, médio do lado $\overline{AB}$, uma semicircunferência de raio $2$ que intersecta os lados $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$, respectivamente, em $E$ e $F$. A área da superfície externa à semicircunferência e que também é interna ao quadrado, é igual a

(Dado $\boldsymbol{\pi }\boldsymbol{\ =}\boldsymbol{\ }\boldsymbol{3}$)