AFA 2009 Matemática - Questões

Sobre as retas $(r)$ $(1-k)x+10y+3k=0$ e $(s)$ $\begin{cases}x=2-t\\ y=-1+(1-k)t\end{cases}$ onde $k,t\in\mathbb{R}$, pode-se afirmar que

Os vértices de um triangulo ABC são os centros das circunferências:$$ \begin{align} &(\lambda_1) x^2 + y^2 + 2x - 4y - 1 = 0 \\ &(\lambda_2) 4x^2 +4y^2 + 12x - 8y - 15 = 0 \\ &(\lambda_3) (x-7)^2 + (y+3)^2 = 8 \end{align}$$ O tetraedro cuja base é o triangulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em $m^3$ , igual a:

Suponha um terreno retangular com medidas de $\pu{18 m}$ de largura por $\pu{30 m}$ de comprimento, como na figura abaixo:

Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elíptico que tenha os dois eixos com o maior comprimento possível. Ele escolhe dois pontos fixos P e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar no traçado.

Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio de rosas uma região limitada por uma hipérbole que possui:

• eixo real com extremidades em P e Q;

• excentricidade $e = \frac{5}{4}$

Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse tangente aos eixos coordenados, o primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo.

(01) O centro da elipse estará a uma distância de $\pu{3\sqrt{34} m}$ do ponto A

(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará de menos de $\pu{24 m}$ de corda.

(04) O número que representa a medida do eixo real da hipérbole, em metros, é múltiplo de $5$

(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos eixos coordenados.

A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo

Considere todos os números complexos $z = x + yi$, onde $x\in\mathbb{R}$, $y\in\mathbb{R}$ e $i = \sqrt{-1}$, tais que $\begin{vmatrix} Z - \sqrt{-1} \end{vmatrix} \le \begin{vmatrix} \frac{\sqrt2} {1+i} \end{vmatrix}$

Sobre esses números complexos z, é correto afirmar que

O polinômio $P_1(x) = mx^3 - 2nx^2 - mx + n^2$, onde $ \left \{ m,n \right \} \subset\mathbb{R}$ é unitario e não divisível por $P_2(x) = x$

Sabe-se que $P_1(x) = 0$ admite duas raízes simétricas.

Sobre as raízes de $P_1(x) = 0$ é INCORRETO afirmar que