Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos largaram, no sentido do solo, uma pequena bola de uma altura de . Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda imediatamente anterior.
Calcule a distância total, em metros, percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.
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As alturas alcançadas adotam o seguinte padrão:$$(6,~3,~\cdots, ~3/32,~3/64)$$Sendo esta uma progressão geométrica de razão $\dfrac{1}{2}$ e de primeiro termo $6$. É importante perceber também que a bola percorre uma determinada altura e, ao cair em direção ao solo, percorre novamente essa mesma altura. A única vez em que isto não ocorre é quando a bola é solta da altura de $12~\pu{m}$, tal distância que é percorrida somente uma vez.
Em suma, é necessário somar os termos da P.G. acima, dobrar o valor encontrado e somar $12$. Assim:$$S~=~6+3+\cdots +\dfrac{3}{32} +\dfrac{3}{64}~=~3\cdot \left(4-\dfrac{1}{2^6}\right) \implies 2S~=~24-\dfrac{3}{32}$$Do exposto, a distância total $D$ percorrida é:$$\boxed{D~=~2S+12~=~35,9}$$
