Podemos resolver esta questão com o auxílio da função inversa de $f$, que tem uma estrutura conhecida nas questões ITA IME, que se assemelha à estrutura de funções hiperbólicas.$$f^{-1} (x) = \large{\frac{10^x - 10^{-x}}{2}}$$Comecemos da alternativa $E$ adiante. $\text{E} )$ Afirmar que $f(x)$ não tem raíz real é o mesmo que dizer que $f^{-1} (0)$ não é real. O que é falso, visto que $f^{-1} (0) = \large{\frac{10^0 - 10^0}{2}}$ $=$ $0 \in \mathbb{R}$ $\color{red}{[\text{falso}}]$ $\text{D} )$ Afirmar que $f(x)$ tem duas raízes reais é o mesmo que dizer que $f^{-1} (0)$ produz dois valores. O que é falso, visto que $f^{-1} (0) = 0$, que é único. $\color{red}{[\text{falso}}]$ $\text{C} )$ Afirmar que $f(2x) > f(x)$, para todo $x\neq 0$, é o mesmo que dizer que $2f^{-1}(x) > f^{-1}(x)$ , para todo $f^{-1}(x) \neq 0$. O que é falso, visto que: Se considerarmos $2\cdot 10^x - 2\cdot 10^{-x} > 10^x - 10^{-x}$ $\implies$ $10^x>10^{-x}$. Para todo $x\neq 0$ , essa sentença não é verdadeira. $\color{red}{[\text{falso}}]$ $\text{B} )$ Afirmar que $f(x)$ é uma função ímpar, é o mesmo que dizer que$\space$ $f^{-1}(x)$ também é ímpar (a demonstração fica a cargo do leitor). Analisemos: $f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x)$ $\implies$ $\Large{\frac{10^x - 10^{-x}}{2}} =- \frac{10^{-x} - 10^{x}}{2} = \frac{10^x - 10^{-x}}{2}$ (de fato) $\color{green}{[\text{verdadeiro}}]$ $\text{A} )$ Afirmar que $f(x)$ é uma função par, já sabendo que é ímpar, é o mesmo que dizer que $f(x) = 0$, para todo $x$, ou inversamente, $f^{-1}(0) = x$, para qualquer $x$. Obviamente isso não é verdadeira, pois, $f^{-1}(0)$ é único e igual a $0$.$\space \space \space$$\color{red}{[\text{falso}}]$