Generalização de equações da forma $\Large{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \Large{\frac{1}{p}}$ $\implies$ $p(x+y) = xy$ Ao considerar o produto $(x-p)(y-p)$ $=$ $xy - p(x+y) + p^2$ , percebe-se que: $p(x+y) = xy$ se, e somente se, $(x-p)(y-p) = p^2$ . $\boxed{\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{p} \implies (x-p)(y-p) = p^2}$ Sendo $x,\space y,\space p$ $\neq$ $0$ No caso do problema do $\text{IME}\space\space 2022$, temos que $p = 23$, logo: $$(x-23)(y-23) = 23^2$$Como o $23^2$ é um produto de dois primos, e o $1$ , então ele pode ser rearranjado de alguns modos, como um produto composto de números inteiros: $\bullet \space 23^2 = 23\cdot 23$ $\bullet \space 23^2 = 23^2\cdot 1$ $\bullet \space 23^2 = 1\cdot 23^2$ $23^2 = -23\cdot (-23)$ $\color{red}{[\text{não\space\space convém}}]$ $x-23 = y-23 \neq -23$ , pois $x,\space y \neq 0$ . $\bullet \space 23^2 = -(23^2)\cdot (-1)$ $\bullet \space 23^2 = -1\cdot(- 23^2)$ Ou seja, para cada $"\bullet"$ há um par ordenado. Portanto, há $5$ pares possíveis para a equação enunciada.