Da progressão apresentada, temos que sua razão é $\Large{-\frac{4}{3x}}$ , assim, calculemos a soma:$$\frac{a_1}{1-q} ~=~ -\frac{\frac{4}{3x}}{1 + \frac{4}{3x}} ~=~-\frac{4}{3x+4}~=~ f(x) ~, ~\text{com}~~ x \in \mathbb{R}- \left\{0,-\frac{4}{3}\right\}.$$$$f(x) = -x \implies \frac{4}{3x+4} ~=~ x \implies 3x^2 + 4x - 4 ~=~ 0$$Completando o quadrado, resolvamos a equação:$$\left(x+\frac{2}{3} \right)^2 =~ \frac{4}{3} + \frac{4}{9} ~=~ \left(\frac{4}{3} \right)^2 \implies \left|x+\frac{2}{3} \right| ~=~ \frac{4}{3}$$Resolvendo a equação modular, tem-se:$$x = \left\{-2, \space \frac{2}{3}\right\}$$Para $x = \dfrac{2}{3}$ , temos que sua razão e o primeiro termo da soma são iguais a $-2$. Assim, o termo geral da P.G. seria$$T_n = -2\cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$$Para $n>0$, par, a soma será $0$. Para $n$ ímpar, será $-2$. Mesmo com $n$ tendendo ao infinito, esta soma nunca será $-x = -\dfrac{2}{3}$. Já para $x = -2$, a razão e o primeiro termo seriam iguais a $\dfrac{2}{3}$. Assim, o termo geral da P.G. seria$$T_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \implies S_{\infty} ~=~ \dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{2}{3}} ~=~ 2~=~-x$$Percebe-se acima que, para $x=-2$, a condição é satisfeita. Portanto, a única raíz válida em $x$ é $-2$. A soma das raízes será $-2$.$$\bf{Alternativa~(B)} $$