Perceba que o produto que a questão nos fornece não contém o ângulo $\hat{A}$, logo a primeira ideia seria sumir com o $sin (\hat{A})$ e deixar em função dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$. $$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = \pi \Rightarrow \hat{A} = \pi - (\hat{B} + \hat{C}).$$ Aplicando a função seno em ambos os lados, obtemos $$sin (\hat{A}) = sin (\pi - (\hat{B} + \hat{C})) \Rightarrow sin (\hat{A}) = sin (\hat{B} + \hat{C})).$$ Logo, reduzimos a equação original: $$2sin (\hat{B} + \hat{C})) = sin (\hat{B}) + sin (\hat{C}).$$ Agora basta utilizar as equações de Werner $$4sin\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right)cos\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right) = 2sin\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right)cos\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right).$$ Dividindo em dois casos: $$i) \ sin\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right) = 0 \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 2 \pi \ (\text{Absurdo!})$$ $$ii) \ sin\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right) \neq 0 \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} \neq 2 \pi$$ $$2cos\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right) = cos\left(\dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\right).$$ Abrindo a soma arcos e usando um pouco de álgebra, chegamos em $$cotg\left(\dfrac{\hat{B}}{2}\right)cotg\left(\dfrac{\hat{C}}{2}\right) = 3.$$