Observemos que $2\cos^2(e^{\theta}) = 1+\cos(2e^{\theta})$ e, ainda, somando $3\cos^2(e^{\theta})$ nos dois membros da equação, encontra-se:$$\sin^2(e^{\theta}) - 2\sqrt{3}\sin(e^{\theta})\cos(e^{\theta}) + 3\cos^2(e^{\theta})~=~ \cos^2(e^{\theta}) + 3\cos^2(e^{\theta})$$Assim, determina-se$$\left(\sin(e^{\theta}) - \sqrt{3}\cos(e^{\theta})\right)^2~=~\left(2\cos(e^{\theta})\right)^2 \implies |\sin(e^{\theta}) - \sqrt{3}\cos(e^{\theta})|=|2\cos(e^{\theta})|$$Agora, devemos analisar os dois casos possíveis para a equação modular acima. 1° Caso:$$\sin(e^{\theta}) - \sqrt{3}\cos(e^{\theta})=2\cos(e^{\theta}) \implies \cos\left(\frac{5\pi}{6}-e^{\theta}\right) = \cos(e^{\theta})$$$$e^{\theta} = \dfrac{5\pi}{12} \implies \color{CornflowerBlue}{\theta = \ln \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)}\\$$2° Caso:$$\sin(e^{\theta})-\sqrt{3}\cos(e^{\theta})=-2\cos(e^{\theta}) \implies \cos\left(\frac{11\pi}{6}-e^{\theta}\right) = \cos(e^{\theta})$$$$e^{\theta} = \dfrac{11\pi}{12} \implies \color{CornflowerBlue}{\theta = \ln \left(\dfrac{11\pi}{12}\right)}$$ Como $\ln(x)$ é uma função crescente, então $x_1 > x_2 \implies \ln(x_1) > \ln(x_2)$. Desse modo, o menor valor de $\theta$ que é raíz da equação é$$\boxed{\theta = \dfrac{5\pi}{12}}$$$$\bf{Alternativa~(E)}$$