$N$ $=$ $(1041)_x$ $=$ $x^3 + 4x + 1$ $N = (1431)_{x-1}$ $=$ $(x-1)^3 + 4\cdot(x-1)^2 + 3\cdot(x-1) + 1$ No desenvolvimento, encontra-se:$$x^3 + x^2 - 2x + 1 = x^3 + 4x + 1 \implies x^2 = 6x\space,\space x \neq 0,\space \text{logo}, \space \space \color{red}{x = 6}.$$Assim, $N = (1041)_6 = 6^3 + 4\cdot 6 + 1 = 241_{10}$ . Portanto, o $N$ na base binária é o $(241)_2 = \boxed{1\space1\space1\space1\space0\space0\space0\space1}$$$\text{Alternativa} \space \mathbb{(E)}$$