Seja $\log_{10} k = x$ , assim, reescrevamos a equação do enunciado:$$2\sqrt{x-1} -\frac{5x}{2} + 3 > 0 \implies 4\sqrt{x-1} > 5x - 6$$Elevando o quadrado na desigualdade, temos:$$16x-16>25x^2 - 60x + 36 \implies 25x^2 - 76x + 52 < 0$$Dividindo a inequação por $25$ e completando o quadrado, temos:$$x^2 -2\cdot \frac{38}{25} + \frac{38^2}{25^2} < \frac{38^2}{25^2} - \frac{52}{25} \implies (25x - 38)^2 < 12^2$$Aplicando a raíz quadrada na desigualdade, temos:$$|25x-38|<12 \implies 25x<50 \implies x<2$$$$25x>38-12 = 26 \implies x > \frac{26}{25}$$Logo, $\large{\frac{26}{25}}$ $< \log_{10} k < 2$ , $k \in \mathbb{Z}$ $\implies$ $11<k<100$. Entretanto, para $k=10$, é válida a relação do enunciado. Portanto, $10\leq k \in \mathbb{Z} \leq 99$ , o que significa que há $90$ soluções.$$\text{Alternativa } \mathbb{(C)}$$