Questão EXCELENTE que pode parecer um pouco assustadora, mas vai com calma que fica mais tranquilo. O enunciado nos fornece uma matriz $A$ $2$x$2$ e uma matriz $B$ meio aloprada, mas vamos tentar descobrir quem é ela. $$ A^{2} = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right]$$ Por que eu fiz isso? Porque eu preciso achar algum tipo de padrão em relação às potências da matriz $A$ para conseguir fazer o somatório. Vamos continuar... $$A^{3} = \left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 8 & 12 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right]$$ e $$A^{4} = \left[ \begin{array}{cc} 8 & 12 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 16 & 32 \\ 0 & 16 \\ \end{array} \right].$$ Vamos fazer uma conjectura dessa matriz $$A^{k} = \left[ \begin{array}{cc} 2^{k} & k \cdot 2^{k-1} \\ 0 & 2^{k} \\ \end{array} \right].$$ Agora basta provar por indução - é OBRIGATÓRIO provar por PIF em prova aberta esse tipo de conjectura. $$A^{k+1} = A^{k} \cdot A = \left[ \begin{array}{cc} 2^{k} & k \cdot 2^{k-1} \\ 0 & 2^{k} \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2^{k+1} & (k+1)\cdot 2^{k} \\ 0 & 2^{k+1} \\ \end{array} \right].$$ Ufa, vamos identificar a matriz B $$B = \sum_{k=1}^{n} A^{k} = \left[ \begin{array}{cc} 2^{n+1} - 2 & 2^{n}(n-1)+1 \\ 0 & 2^{n+1} - 2 \\ \end{array} \right].$$ Perceba que as entradas $b_{11}$ e $b_{22}$ tratam-se de uma soma de P.G. finita e na entrada $b_{12}$ é uma P.A.G. Resolução da P.A.G.: $$S = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 3\cdot 2^{2} + 4\cdot 2^{3} + \dots + 2^{n-1}\cdot n \\ 2 \cdot S = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \cdot 1 + 2\cdot 2^{2} + 3\cdot 2^{3} + 4\cdot 2^{4} + \dots + 2^{n}\cdot n \\ -S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n-1} - 2^{n} \cdot n \\ S = 2^{n}(n-1)+1$$ Resposta: $2^{n}(n-1+4) - 3 = 2^{n}(n+3)-3.$