Percebamos que$$(9r+5s) = (17r+17s)-(8r+12s)$$$$(9r+5s) = 17\cdot(r+s)-4\cdot (2r+3s)$$ A condição necessária e suficiente para que $17 \mid (9r+5s)$, é$$17 \mid 17\cdot(r+s)-4\cdot (2r+3s)$$ E a condição para que isso ocorra é que$$17 \mid (2r+3s)$$ Prova-se portanto que $\boxed{~17 \mid (2r+3s) \iff 17 \mid (9r+5s)}$ .