Existem duas formas relativamente intuitivas de resolver problemas desse tipo; você pode realizar o processo diretamente ou indiretamente (a partir de probabilidade complementar). Nessa perspectiva, ao analisar a questão, nota-se o interesse de "ao menos dois quadrados", ou seja, a probabilidade completar pode ser bem eficiente, visto que calcular a probabilidade de "sequer dois quadrados de mesma cor" é, aparentemente, mais simples. Enfim, continuemos: $• \ \text{Resolução I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Evento Direto}}$ Comecemos por perceber que colorir ao menos dois quadrados de mesma cor significa, grosso modo, poder colorir mais de dois. Com isso em mente, o mais simples será dividir em casos, faremos substancialmente $3$, são eles:\begin{matrix} \text{Caso I:}& \text{4 quadrados com a mesma cor} \\ \text{Caso II:}& \text{3 quadrados com a mesma cor} \\ \text{Caso III:}& \text{2 quadrados com a mesma cor} \end{matrix}Então, pensando no primeiro caso - mais simples por sinal -, tem-se de escolher uma entre quatro cores no intuito de pintar os quatro quadrados. Ora, são $4$ cores possíveis, logo, são quatro eventos possíveis:\begin{matrix} \#(\text{I}) = \text{4 eventos} \end{matrix}Já para o segundo caso, deve-se escolher três dos quatro quadrados, ou seja, $C_4^3$. Após isso, deve-se definir uma cor para esses três quadrados, isto é, escolher uma das $4$ opções. Por fim, o último quadrado deve ser de uma cor diferente dos demais, logo, restam-se $3$ opções para o último. Em suma, pelo princípio multiplicativo, constata-se: \begin{matrix} \#(\text{II}) = C_4^3 \cdot 4 \cdot 3 &\therefore& \#(\text{II}) = \text{48 eventos} \end{matrix}Agora, pensando no último caso, o problema é um pouco maior. A princípio, deve-se salientar que os quadros devem possuir dois lados comuns, ou seja, há mais três subcasos:\begin{matrix} \text{Caso III}_1:& \text{2 quadrados na horizontal com a mesma cor} \\ \text{Caso III}_2:& \text{2 quadrados na vertical com a mesma cor} \\ \text{Caso III}_3:& \text{2 quadrados com uma cor e outros 2 com outra} \\ \end{matrix}Repare que o dois primeiros subcasos acima são praticamente análogos, existem $2$ horizontais (verticais) possíveis, e dessas precisamos escolher uma entre $4$ cores. Já para os demais, o terceiro escolhido apresentará $3$ cores possíveis, assim como o último possuirá apenas $2$ - ele precisa ser diferente dos demais. Resumindo, segue:\begin{matrix} \#(\text{III}_1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 &\therefore& \#(\text{III}_1) = \text{48 eventos} \\ \#(\text{III}_2) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 &\therefore& \#(\text{III}_2) = \text{48 eventos} \end{matrix}No fim, pensando no último subcaso, veja que existem $2$ possibilidades: cores iguais na vertical ou horizontal. Seguindo esse raciocínio, necessita-se escolher uma dentre $4$ cores para dois dos quadrados, assim como uma dentre $3$ cores restantes para os demais. Assim,\begin{matrix} \#(\text{III}_3) = 2 \cdot 4 \cdot 3 &\therefore& \#(\text{III}_2) = \text{24 eventos} \end{matrix}Para a probabilidade em questão, resta apenas encontrar o espaço amostral $\#W$, o que não é difícil; só é preciso pensar em todas as formas possíveis de colorir a imagem, isto é, $4^4$. Como resultado, conclui-se:\begin{matrix} P = \dfrac{\#(\text{I}) + \#(\text{II}) + \#(\text{III}_1) + \#(\text{III}_2) + \#(\text{III}_3) }{\#W} \end{matrix}Ou melhor,\begin{matrix} P =\dfrac{43}{64} \ \ \ \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{Resolução II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Evento Complementar}}$ Observe que a resolução acima ficou extensa e, numa prova, quase impraticável. Por isso, seguir com a ideia de probabilidade complementar é extremamente útil. Basicamente, buscamos a probabilidade de nenhum quadrado possuir cores idênticas lado a lado, o que pode ser dividido em dois casos:\begin{matrix} \text{Caso I:}& \text{Os quadrados numa diagonal são iguais} \\ \text{Caso II:}& \text{Os quadrados numa diagonal são diferentes} \\ \end{matrix}No primeiro caso, deve-se escolher uma entre $4$ cores para pintar essa diagonal, restando $3$ cores possíveis para os demais quadrados.\begin{matrix} \#(\text{I}) = 4 \cdot 3 \cdot 3 &\therefore& \#(\text{I}) = \text{36 eventos} \end{matrix}Para o segundo caso, há $4$ cores para o primeiro quadrado da diagonal, assim como $3$ para o segundo. Aos demais, sabe-se que eles não podem ser iguais ao quadrados adjacentes, ou seja, os dois restantes possuem $2$ opções de cores cada.\begin{matrix} \#(\text{I}) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 &\therefore& \#(\text{I}) = \text{48 eventos} \end{matrix}Então a probabilidade complementar é,\begin{matrix} P^c = \dfrac{\#(\text{I}) + \#(\text{II}) }{\#W} &,& P = 1-P^c \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} P =\dfrac{43}{64} \ \ \ \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}