Equação geral desta hipérbole: $\large{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}$, e seja $c$ a distância focal. Ademais, sabe-se que $c^2 = a^2 + b^2$ e a equação que relaciona a reta tangente à hipérbole é $k^2 + b^2 = m^2a^2$, em que $m$ é o coeficiente angular da reta, e $k$ seu termo independente. Se a excentricidade é $\large{\frac{c}{a}} = $$\space \sqrt 2$, isto implica $a = c\cdot \frac{\sqrt2}{2} = c\cdot \sin 45°$, e isso significa que $b = c\cdot \cos 45°$, logo $a = b \implies \color{green}{a^2 = b^2}$ . Assim, da equação geral, e sabendo que o ponto $\space (\sqrt 5 , 1)$ a satisfaz, vale a relação:$$x^2 - y^2 = a^2 \implies (\sqrt 5)^2 - 1^2 = 4 = a^2$$$$a^2 = b^2 = 4$$ Sendo paralela a $y = 2x$, a reta tangente é da forma $y = 2x + k$, assim, o coeficiente angular $m = 2$. Da relação entre reta tangente e cônica, encontra-se $k$:$$k^2 + 4 = 4\cdot (2)^2 \implies k² = 12 \implies k = \pm\space 2\sqrt 3$$ Portanto, encontra-se a equação da reta tangente $y = 2x \space \pm \space 2\sqrt3$. Se multiplicarmos a equação por $\sqrt 3$ e considerarmos apenas o sinal positivo do termo independente, determina-se, finalmente: $\boxed{\sqrt 3 y \space =\space 2\sqrt 3 x \space + \space 6}.$$$\text{Alternativa } \mathbb{(A)}$$