A questão trata acerca dos conceitos de $\text{PAG (Progressões Aritmético–Geométricas)}$. Assim, sendo $S$ o valor da soma, segue:\begin{align*} S &= 1+ 2i + 3i^2 + \dots + (n+1)i^n \\ iS&= i+ 2i^2 + 3i^3 + \dots + (n+1)i^{n+1} \\ \hline S - iS &= \underbrace{1 + i + i^2 + \dots + i^n}_{PG} - (n+1)i^{n+1} \end{align*}Continuando,\begin{matrix} S(1-i) = \dfrac{(i^{n+1} - 1)}{i-1} - (n+1)i^{n+1} \end{matrix}Dado que $n$ é múltiplo de $4$, este deve ser na forma $n = 4k$, ou seja:\begin{matrix} S(1-i) = \dfrac{(i^{4k+1} - 1)}{i-1} - (n+1)i^{4k+1} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $i^4 = 1$ $$i^{4k +i} = i \cdot i^{4k} = i \cdot (i^4)^k = i$$Então,\begin{matrix} S(1-i) = \dfrac{(i - 1)}{i-1} - (n+1)i \end{matrix}Logo,\begin{matrix} S = \dfrac{1 - (n+1)i}{1-i} {\color{#3368b8}{\cdot \left(\dfrac{1+i}{1+i}\right)}} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} S = \dfrac{n+2}{2} - \dfrac{n}{2}i & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{#3368b8}{\text{Nota:}}$ Assumiu-se $i$ como unidade imaginária em vista de $n$ ser múltiplo de $4$. No caso, a informação de $n$ não agregaria em nada caso $i$ fosse diferente disso.