Um número da forma $\underbrace{111111\cdots 1}_{k} = \Large{\frac{10^k -1}{9}}$, basta saber disso para desenvolver esta questão. $\underbrace{11\cdots 1}_{n-1}$ $\underbrace{222\cdots 2}_{n}$ $5$ $=$ $\underbrace{11111111\cdots 1}_{2n}$ $+$ $\underbrace{11111111\cdots 1}_{n+1}$ $+$ $3$ . Temos: $\underbrace{11\cdots 1}_{n-1}$ $\underbrace{222\cdots 2}_{n}$ $5$ $=$ $\Large{\frac{10^{2n} -1}{9}}$ $+$ $\Large{\frac{10^{n+1} -1}{9}}$ $+$ $\Large{\frac{27}{9}}$ $=$ $\Large{\frac{10^{2n} + 10\cdot 10^n + 25}{9}}$ Assim, obtemos: $\underbrace{11\cdots 1}_{n-1}$ $\underbrace{222\cdots 2}_{n}$ $5$ $=$ $\Large{\left(\frac{10^n + 5}{3} \right )^2}$. De fato é um quadrado, agora basta mostrar que $\Large{\left(\frac{10^n + 5}{3} \right)^2}$ é inteiro. Isto é simples: $10^n - 1 = \underbrace{999\cdots 9}_{n} = 9\cdot \underbrace{111\cdots 1}_{n}$ , isto é, $3\mid 10^n - 1$ $\implies$ $10^n - 1 = 3k$, para algum $k \in \mathbb{Z_+}$ . Assim, $10^n - 1 + 6 = 10^n + 5 = 3k + 6 = 3\cdot (k+2)$ $\implies$ $3 \mid 10^n + 5$. Conclui-se que $\underbrace{11\cdots 1}_{n-1}$ $\underbrace{222\cdots 2}_{n}$ $5$ $=$ $\Large{\left(\frac{10^n + 5}{3} \right)^2}$ é um quadrado perfeito.