Admita que $p,q$ e $r$ são as raízes de $P(x)$ Logo, temos: $$P(r)=0\Rightarrow r³+ar+b=0\color{red}÷(r)\color{white}\Rightarrow\boxed{ r²+ a + \frac{b}{r}=0}$$ $$P(p)=0\Rightarrow p³+ap+b=0\color{red}÷(p)\color{white}\Rightarrow\boxed{ p²+ a + \frac{b}{p}=0}$$ $$P(q)=0\Rightarrow q³+aq+b=0\color{red}÷(q)\color{white}\Rightarrow \boxed{q²+ a + \frac{b}{q}=0}$$ Somando as expressões, obtemos: $$p²+q²+r²+3a+b\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right)=0\Rightarrow \boxed{p²+q²+r²+3a+b\left(\frac{pq+qr+rp}{pqr}\right)=0}$$ Por relações de Girard, obtemos: $$\boxed{pq + qr + rp =a} \\ \boxed{pqr=-b} $$ Substituindo, obtemos: $$p²+q²+r²+3a+b\left(\frac{a}{-b}\right)=0\Rightarrow \boxed{a=-\frac{(p²+q²+r²)}{2}}$$ Como $x²>0, \forall x \in \R,$ então $ a<0$ $\blacksquare$