Considere uma matriz , , de coeficientes reais, e um número real diferente de . Sabendo-se que , prove que a matriz é invertível, onde é matriz identidade .
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De A³=kA, (A²-kI)A=0
i) A=0, A+I=I det(I)= 1, logo, A+I é inversível
ii) A²=kI=(+/-sqrt(|k|)² ×I)
A=+/-sqrt(k)×I
Como k é diferente de 1, A é diferente de (-1)×I, logo, A+ I nunca será a matriz nula.
Por fim, det(A+I)=1+/-sqrt(k) e A+I é inversível. Q.E.D.
