De acordo com a questão, z possui módulo unitário. Logo, podemos dizer que $$ z = cis \alpha $$ Assim, substituiremos na equação dada: $$ \frac{z^{n}}{(1+z^{2n})} = \frac{(cis \alpha)^{n}}{[1+(cis \alpha)^{2n}]} $$ Relembrando a 1ª Lei de Moivre, que afirma: $ z = \rho cis( \alpha) $ $ \therefore $ $ z^{n} = \rho^{n} cis(n \alpha) $. Podemos utilizá-la, logo: $$ \frac{cis(n \alpha)}{[1+cis(2n \alpha)]} = \frac{cis(n \alpha)}{2\cos(n \alpha)cis(n \alpha)} = \frac{1}{2\cos(n \alpha)} $$ Assim, o resultado final que chegamos demonstra que a expressão dada pela questão é, sim, real!

Solução 3: Vamos utilizar a forma exponencial dos números complexos. Podemos reescrever a equação dada como $$\dfrac{z}{1 + z^{2n}} = \dfrac{e^{in\theta}}{1 + e^{2in\theta}}.$$ Vamos multiplicar e dividir o lado direito por $e^{in\theta}$ e obter que $$\dfrac{e^{in\theta}}{1 + e^{2in\theta}} = \dfrac{1}{e^{-in\theta} + e^{in\theta}}$$ Utilizando as propriedades da forma trigonométrica e exponencial, temos que $$\dfrac{1}{e^{-in\theta} + e^{in\theta}} = \dfrac{1}{2cos(n\theta)}$$ que pertence ao conjunto dos reais. Logo $$\dfrac{z}{1 + z^{2n}}$$ é um número real.

Solução 2: É possível resolver a mesma questão utilizando algumas propriedades mais básicas dos números complexos. Vale lembrar que para provar que um número complexo é real, basta mostrar que o número complexo é igual ao seu conjugado. Queremos provar que $$\dfrac{z^{n}}{1+z^{2n}} = \overline{\left(\dfrac{z^{n}}{1 + z^{2n}}\right)}.$$ Para isso, vamos utilizar a informação do enunciado, que o módulo do complexo é unitário, ou seja, vamos trocar $z$ por $\frac{1}{\overline{z}}$. $$\dfrac{z^{n}}{1+z^{2n}} = \dfrac{\dfrac{1}{\overline{z}^{n}}}{1 + \dfrac{1}{\overline{z}^{2n}}} = \overline{\left(\dfrac{z^{n}}{1 + z^{2n}}\right)}.$$ Logo, $\dfrac{z^{n}}{1+z^{2n}}$ é um número real.