Seja$$S \space =\space \sqrt[3]{20+14\sqrt2 \space} \space +\space \sqrt[3]{20-14\sqrt2 \space} \in \mathbb{R}$$$$S^3 = 20+14\sqrt 2 + 3\cdot (\sqrt[3]{20+14\sqrt2 \space})\cdot (\sqrt[3]{20-14\sqrt2 \space})\cdot S + 20-14\sqrt2$$$$S^3 = 6S + 40 \implies S^3-6S-40 = 0$$Testando para $S = 4$, verifica-se que é solução. Assim:$$S^3-6S-40 = (S-4)\cdot(S^2+bS+10)\implies b = 4$$Logo$$S^2+4S+10 = 0 \implies (S+2)^2 = -6 ~~ \text{\color{red}{(não convêm)}}$$ Portanto, a única solução possível é $\boxed{S = 4}$ que, por sua vez, é múltiplo de $4$. $$4\mid S = 4 ~~~~~~~ \mathbb{C.Q.D.}$$