Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz $[R]$, abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que $n$ é um número inteiro e $\alpha$ é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.

$\begin{bmatrix} R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{(n \alpha)} & -\sin{(n \alpha)} & 0 \\ \sin{(n \alpha)} & \cos{(n \alpha)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

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ITA IIIT 29/04/2022 20:37
$-$ A priori, o enunciado já fornece o conceito de matriz ortogonal, isso implica que:\begin{matrix}[R].[R]^T = I &\because& [R]^T = [R]^{-1}&\wedge& [R].[R]^{-1} = I \end{matrix}Logo, para que $[R]$ seja ortogonal, temos:\begin{matrix} \begin{bmatrix} \cos{(na)} & -\sin{(na)} & 0 \\ \sin{(na)} & \cos{(na)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} &\cdot& \begin{bmatrix} \cos{(na)} & \sin{(na)} & 0 \\ -\sin{(na)} & \cos{(na)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{matrix}Atente que, ao usar as $\text{Regras de Chió}$, podemos reduzir as matrizes em: \begin{matrix} \begin{bmatrix} \cos{(na)} & -\sin{(na)} \\ \sin{(na)} & \cos{(na)} \\ \end{bmatrix} &\cdot& \begin{bmatrix} \cos{(na)} & \sin{(na)} \\ -\sin{(na)} & \cos{(na)} \\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \end{matrix}Assim, \begin{matrix}\begin{bmatrix} \cos^2{(na)} + \sin^2{(na)} &0 \\ 0 &\cos^2{(na)} + \sin^2{(na)} \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \\ \end{bmatrix} \end{matrix} Com conhecimento da $\text{Relação fundamental da Trigonometria}$, sabemos que: \begin{matrix} \cos^2{(na)} &+& \sin^2{(na)}&=& 1 \end{matrix}Portanto, $[R]$ é ortogonal.
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