$-$ Comecemos definindo $x = \arccot{(\frac{4}{3})}$ e $y = \arccsc{(\frac{5}{4})}$ , logo: \begin{matrix} \cot{x} &=& \frac{4}{3} &,& \csc{y} &=& \frac{5}{4} \end{matrix}• Partindo por $y$: \begin{matrix} \csc{y} = \frac{5}{4} &\therefore& \fbox{$\sin{y} = \frac{4}{5}$} \end{matrix}• Pela $\text{Relação fundamental da Trigonometria}$ para $x$:\begin{matrix} \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 &\Rightarrow& \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x} &\therefore& \csc{x} = \pm \ \frac{5}{3} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} \fbox{$\sin{x} = \pm \ \frac{3}{5} \ , \ \cos{x} = \pm \ \frac{4}{5}$} \end{matrix}$-$ Veja que, a relação do enunciado pode ser definida por: \begin{matrix} \sin{2x} &+& \cos{2y} &=& 2\sin{x}\cos{x} &+& (1-2\sin^2{y}) \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} \sin{[2 \arccot{(\frac{4}{3})}]} &+& \cos{[2 \arccsc{(\frac{5}{4})}]} &=& \large{\frac{17}{25}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}