Sem perda de generalidade, se $k = (abc)_{10} = 100a + 10b + c$, provemos primeiramente que $k^n$ terá a mesma unidade de $c^n$: $k^n = (100a + 10b + c)^n = P(x) + c^n$, em que $P$ está em função de $a$ , $b$ e $c$. Assim, basta que apenas analisemos os possíveis dígitos que $c$ pode assumir, observando assim como se comportam as quintas potências de cada dígito assumido. Evidentemente $c$ pode assumir qualquer elemento do conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . $0^5$ tem unidade $0$ ; $1^5$ tem unidade $1$ ; $2^5$ tem unidade $2$; $3^5$ tem unidade $3$ ; $4^5$ tem unidade $4$ ; $5^5$ tem unidade $5$ ; $6^5$ tem unidade $6$ ; $7^5$ tem unidade $7$ ; $8^5$ tem unidade $8$ ; $9^5$ tem unidade $9$ . Prova-se então que $k$ e $k^5$ terão sempre o mesmo algarismo das unidades. $\mathbb{C.Q.P}$