Conjectura-se que a soma de $k^m$, com $k$ variando de $1$ a $n$ deve ser representado por um polinômio $p$ de grau $m+1$ em $n$, do tipo $$p(n)=c_0+c_1n+c_2n^2+\dots+c_{m+1}n^{m+1}$$ Para o caso em que $m=2$, \begin{equation}p(n)=c_0+c_1n+c_2n^2+c_3n^3\ \ \ \ \ (eq. 1)\end{equation} Induz-se que se $p(n)$ é verdadeiro, então $p(n+1)$ também o é. Seja $f(a)$ uma função em $a$. Sabe-se que $$\sum^{b+1}_af(a)=\sum^{b}_af(a)+f(b+1)$$ Dessa forma, presume-se que se $$p(n)\equiv\sum_{k=1}^nk^2$$ Então $$p(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2=c_0+c_1n+c_2n^2+c_3n^3+(n+1)^2$$ Expandindo: \begin{align} p(n+1)&=c_0+c_1n+c_2n^2+c_3n^3+n^2+2n+1\\ &=c_0+1+(c_1+2)n+(c_2+1)n^2+c_3n^3\ \ \ \ (eq. 2) \end{align} Mas o valor de $p(n+1)$ também pode ser encontrado por ($eq. 1$), de forma que o argumento do polinômio $p$ seja $n+1$: $$p(n+1)=p(n)=c_0+c_1(n+1)+c_2(n+1)^2+c_3(n+1)^3$$ Expandindo: \begin{align} p(n+1)&=p(n)=c_0+c_1(n+1)+c_2(n^2+2n+1)+c_3(n^3+3n^2+3n+1)\\ &=c_0+c_1n+c_1+c_2n^2+2c_2n+c_2+c_3n^3+3c_3n^2+3c_3n+c_3\\ &=c_0+c_1+c_2+c_3+(c_1+2c_2+3c_3)n+(c_2+3c_3)n^2+c_3n^3\ \ \ \ \ (eq. 3) \end{align} Sabe-se que se $ax^i+bx^j=cx^i+dx^j\Leftrightarrow a=c,b=d$. Portanto, ao igualar ($eq. 2$) e ($eq. 3$) obtém se a igualdade entre os coeficientes de cada termo de $p$. Assim, $$\begin{cases} c_0+1=c_0+c_1+c_2+c_3\\ c_1+2=c_1+2c_2+3c_3\\ c_2+1=c_2+3c_3 \end{cases}$$ Resolvendo o sistema, encontram-se os valores de \begin{align*}c_0&=0\\ c_1&=\frac{1}{6}\\ c_2&=\frac{1}{2}\\ c_3&=\frac{1}{3}\end{align*} Portanto, o polimômio buscado é $$\boxed{p(n)=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}}$$