$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ Seja a matriz inversa de $P$ como: \begin{matrix} P^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} &\Rightarrow& \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} a+5b & 2a + 4b \\ c+5d & 2c + 4d \end{bmatrix} \end{matrix}Com isso, \begin{array}{} \begin{matrix} \begin{cases} a + 5b &=& 6 \\ 2a + 4b &=& 0 \end{cases} \ \ &\therefore& a = - 4 \ \ &\wedge& b = 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{cases} c + 5d &=& 0 \\ 2c + 4d &=& -1 \end{cases} &\therefore& c = - {\Large{\frac{5}{6}}} &\wedge& d = {\Large{\frac{1}{6}}} \end{matrix} \end{array}A inversa de uma matriz $2\times 2$ é um resultado notório, mas também é possível encontrar esse resultado num processo análogo ao anterior pela relação: $PP^{-1} = I$. De qualquer forma, têm-se:\begin{matrix} P^{-1} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ - {\Large{\frac{5}{6}}} & {\Large{\frac{1}{6}}} \end{bmatrix} &\therefore& P = \begin{bmatrix} {\Large{\frac{1}{6}}} & -2 \\ {\Large{\frac{5}{6}}} & -4 \end{bmatrix} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Matriz singular é aquela que apresenta determinante igual a zero, o que certamente não é o caso. $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Veja que é possível resolver de uma maneira mais direta:\begin{matrix} \color{royalblue}{P}P^{-1}A &=& IA &=& A &=& \color{royalblue}{P} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{matrix}Num raciocínio análogo: \begin{matrix}P =\begin{bmatrix} x & y \\ z & y \end{bmatrix} &\Rightarrow& \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y \\ w & z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} &\Rightarrow& x = {\Large{\frac{1}{6}}} &,& y = -2 &,& w = {\Large{\frac{5}{6}}} &,& z = -4 \end{matrix}Assim, \begin{matrix} P = \begin{bmatrix} {\Large{\frac{1}{6}}} & -2 \\ {\Large{\frac{5}{6}}} & -4 \end{bmatrix} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}