$-$ Conhecida as $\text{Regras de Crammer}$, pode-se representar este sistema na forma matricial $AX=B$, tal que, para um sistema impossível ou indeterminado $det(X) = 0$, logo: \begin{matrix} det(X) &=& \begin{vmatrix}1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & (\alpha^2 - 14) \end{vmatrix} &\overset{\text{cf. Chió}}{=}& \begin{vmatrix} -7 & 14 \\ -7 & (\alpha^2 - 2) \end{vmatrix}&=& (-7)[\alpha^2 - 16] &=& 0 \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} \alpha^2 = 16 &\Rightarrow& \alpha = \pm 4 &|& \alpha = +4:= \text{SPI} &,& \alpha = -4:= \text{SI} \end{matrix}Repare que, por inspeção, ao somar a primeira linha do sistema com a segunda, e em seguida comparar com a terceira, temos:\begin{matrix}\begin{cases} 4x + y + 2z = 6 \\ 4x + y + 2z = \alpha + 2 \end{cases} &\Rightarrow& 6 = \alpha +2 \end{matrix}Desse modo, com $\alpha$ igual a $4$, o sistema é indeterminado, enquanto com $\alpha$ igual a $-4$, certamente é um absurdo.\begin{matrix}\therefore & \alpha = -4 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}