Determine o resto da divisão do polinômio $(\cos{\varphi} + x \cdot \sin{\varphi})^n$ por $(x^2 + 1)$, onde $n$ é um número natural.


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ITA IIIT 01/03/2022 15:14
$-$ A priori, podemos escrever a divisão do polinômio da seguinte forma: \begin{matrix} (\cos{\varphi} +x.\sin{\varphi})^n &=& (x^2+1).Q(x) &+& R(x) \end{matrix} $-$ Como o divisor é de grau $2$, o resto pode ser no máximo de grau $1$, o que significa o resto ser na forma $R(x)=ax+b$ . Além disso, repare que as duas raízes de $(x^2 - 1)$ são $(i)$ e $(-i)$ , dessa forma: \begin{matrix} (1): && (\cos{\varphi} + i.\sin{\varphi})^n &=& (i^2+1).Q(i) &+& R(i) \\ \\ (2): && (\cos{\varphi} -i.\sin{\varphi})^n &=& [(-i)^2+1].Q(-i) &+& R(-i) \end{matrix} • $(1):$ \begin{matrix} \cos{(n\varphi)} + i.\sin{(n\varphi)} &=& ai+b \end{matrix} • $(2):$ \begin{matrix} \cos{(n\varphi)} - i.\sin{(n\varphi)} &=& -ai+b \end{matrix} $-$ Não é difícil encontrar: \begin{matrix} a = \sin{(n\varphi)} &,& b = \cos{(n\varphi)} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \fbox{$R(x) = x.\sin{(n\varphi)} + \cos{(n\varphi)}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Pela $\text{Lei de Moivre}$, têm-se: \begin{matrix} z^n &=& |z|^n \ . \ (\cos{\varphi} + i.\sin{\varphi})^n &=& |z|^n \ . \ [\cos{(n\varphi)} + i.\sin{(n\varphi)} ] \end{matrix} Atente ao que acontece quando $|z| = 1$
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