$• \ \text{Número de retas:}$ $\color{#3368b8}{15n^2}$ Observe que em cada face temos $n$ pontos, o que totaliza $6n$ pontos no cubo. Com isso, também se sabe que para traçar uma reta é necessário apenas dois pontos, assim, comecemos por quantas retas distintas podemos traçar, para isso, têm-se a combinação de $6n$ escolhe $2$:\begin{matrix} C_{6n}^2 = \dfrac{6n!}{(6n-2)! 2!} =3n(6n-1) \end{matrix}Por outro lado, veja que estamos contando retas coplanares pertencentes às faces, o que o enunciado descarta. Nesse sentido, precisamos remover todas as retas formadas por pontos numa mesma face, isso é o mesmo que escolher $2$ pontos de $n$ pontos duma face, como são $6$ faces, têm-se:\begin{matrix} 6\cdot C_{n}^2 = 6\cdot \left( \dfrac{n!}{(n-2)! 2!} \right) =3n(n-1) \end{matrix}Consequentemente, o números de retas é:\begin{matrix} C_{6n}^2 - 6\cdot C_{n}^2 = 15n^2 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Também é possível pensar de outra forma, por exemplo, comecemos escolhendo um ponto, para isso, têm-se $6n$ opções. Adiante, precisamos de outro ponto, e este deve estar fora da face que selecionamos o ponto anterior, consequentemente, temos outros $5n$ pontos possíveis. Conduto, veja que escolher os pontos $(A,B)$ é o mesmo que escolher os pontos $(B,A)$, ou seja, estamos contando duas vezes cada resultado, logo, têm-se:\begin{matrix} \dfrac{6n \cdot 5n}{2} = 15n^2 \end{matrix}A ideia para remover os casos coplanares é análoga. $• \ \text{Número de triângulos:}$ $\color{#3368b8}{5n^2(7n-3)}$ Utilizando da ideia anterior, comecemos por encontrar todos os triângulos possíveis, para isso, precisamos escolher $3$ pontos dos $6n$ disponíveis:\begin{matrix} C_{6n}^3 = \dfrac{6n!}{(6n-3)! 3!} =n(6n-1)(6n-2) \end{matrix}Agora, precisamos remover os triângulos coplanares que pertencem à uma mesma face, segue-se assim:\begin{matrix} 6\cdot C_{n}^3 = 6\cdot \left( \dfrac{n!}{(n-3)! 3!} \right) =n(n-1)(n-2) \end{matrix}Por fim,\begin{align*} C_{6n}^3 - 6\cdot C_{n}^3 &= n [(6n-1)(6n-2) - (n-1)(n-2)] \\ &= n(35n^2 - 15n) \\ &= 5n(7n^2 - 3) \ \ \tiny{\blacksquare} \end{align*}