Como uma decorrência do $\text{Teorema de D'Alembert}$, sabemos que para o polinômio em questão ser divisível, deve-se ter:\begin{matrix} P(x_k) = 0 &|& (x_k)^9 + (x_k)^8 + \dots + x_k + 1 = 0 \end{matrix}Encontrar $x_k$ significa achar as raízes do polinômio $Q(x) = x^9+x^8 +\dots + x + 1$, o que não é difícil, pois $Q(x)$ é uma progressão geométrica de razão $x$, veja:\begin{matrix} x^9+x^8 +\dots + x + 1 = \dfrac{x^{10} - 1}{x -1 } \end{matrix}Para $Q(x) = 0$,\begin{matrix} \dfrac{(x_k)^{10} - 1}{x_k -1 } = 0 &\therefore& (x_k)^{10} = 1 \end{matrix}A partir daqui é possível encontrar as raízes da unidade, mas manipulando o polinômio $P(x)$, têm-se:\begin{matrix} P(x_k) = (x_k)^9 [(x_k)^{10}]^{99} + (x_k)^8 [(x_k)^{10}]^{88} + \dots + (x_k) [(x_k)^{10}]^{11} + 1 \end{matrix}Então,\begin{matrix} P(x_k) = (x_k)^9+(x_k)^8 +\dots + x_k + 1 \end{matrix}Consequentemente, \begin{matrix} P(x_k)= \dfrac{(x_k)^{10} - 1}{x_k -1 } &\therefore& P(x_k) = 0 & \tiny{\blacksquare}\end{matrix}