$• \ \text{Resolução I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Forma Algébrica}}$ Comecemos por definir $z = a +bi$, nesse sentido, podemos escrever:\begin{matrix} z^2 = \dfrac{1}{7 + 24i} \cdot {\color{#3368b8}{\dfrac{7- 24i}{7 - 24i}}} = \dfrac{7}{25^2} - \dfrac{24}{25^2}i \end{matrix}Analogamente, também temos:\begin{matrix} z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi \end{matrix}Consequentemente,\begin{cases}a^2 - b^2 = \dfrac{7}{25^2} \\ \\ 2abi = - \dfrac{24}{25^2}i \end{cases}Colocando $b$ em evidência na segunda linha e substituindo na primeira, constata-se:\begin{matrix} a^4 - \dfrac{7}{25^2}a^2 - \dfrac{12^2}{25^4} = 0 &,& \Delta = \dfrac{1}{25^2} \end{matrix}Resolvendo a equação biquadrada,\begin{matrix} a^2 = \dfrac{\dfrac{7}{25^2} \pm \dfrac{1}{25}}{2} &,& a \in \mathbb{R} &|& a^2 > 0 \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a = \pm \dfrac{4}{25} &\wedge& b = \mp \dfrac{3}{25} \end{matrix}$• \ \text{Resolução II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Forma Geométrica}}$ Conforme representação geométrica de um complexo, pode-se escrever:\begin{matrix} z = |z|(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \end{matrix}Então,\begin{matrix} |z^2|(\cos{2\theta} + i\sin{2\theta}) = \dfrac{1}{25}\left(\dfrac{7}{25} - \dfrac{24}{25}i \right) \end{matrix}Curiosamente, conforme relação fundamental da trigonometria, têm-se:\begin{matrix} \cos{\theta} = \dfrac{7}{25} &,& \sin{\theta} = -\dfrac{24}{25} \end{matrix}Dessa forma, \begin{matrix}|z^2| = \dfrac{1}{25} &\therefore& |z| = \dfrac{1}{5} \end{matrix}Então,\begin{matrix} z = \dfrac{1}{5} (\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \end{matrix}À vista das fórmulas do arco-metade,\begin{matrix} \cos{\theta} = \sqrt{\dfrac{\cos{2\theta} + 1}{2}} = \pm \dfrac{4}{5} \\ \sin{\theta} = \sqrt{\dfrac{\cos{2\theta} - 1}{2}} = \mp \dfrac{3}{5} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} Z = \pm \dfrac{4}{25} \mp \dfrac{3}{25}i \end{matrix}