Um raio de luz incide sobre a face vertical esquerda de um cubo de vidro de índice de refração $n_1$, como mostrado na figura.

O plano de incidência é o da figura e o cubo está mergulhado em água com índice de refração $n_2$. Determine o maior ângulo que o raio incidente pode fazer com a face vertical esquerda do cubo para que haja reflexão interna total no topo do cubo.

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ITA IIIT 06/03/2022 14:02
$-$ A priori, iremos aplicar duas vezes a $\text{Lei de Snell-Descartes}$, começando com o raio incidente no cubo, vejamos: \begin{matrix} \Large{\frac{\sin{\theta}}{\sin{\phi}}} &=& \Large{\frac{n_1}{n_2}} &\Rightarrow& \cos^2{\gamma} &=& \large{(\frac{n_2}{n_1})^2} & . & \sin^2{\theta} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\color{gray}{\begin{matrix} \phi = 90^{\circ} - \gamma &\Rightarrow& \sin{\phi} = \cos{\gamma} \end{matrix}}$ Agora, para reflexão interna total, temos: \begin{matrix} \Large{\frac{\sin{\gamma}}{\sin{90^{\circ}}}} &=& \Large{\frac{n_2}{n_1}} &\Rightarrow& \sin^2{\gamma} &=& \large{(\frac{n_2}{n_1})^2} \end{matrix} $-$ Com conhecimento da $\text{relação fundamental da trigonometria}$, têm-se: \begin{matrix} \sin^2{\gamma} + \cos^2{\gamma} = 1 &\Rightarrow& (\frac{n_2}{n_1})^2 + (\frac{n_2}{n_1})^2 \sin^2{\theta} = 1 \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} \theta = \arcsin{\sqrt{(\frac{n_1}{n_2})^2 - 1}} \end{matrix}
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