A priori, é interessante listar cada informação e definir alguns termos necessários: $(1):$ Há $15$ comissões, em que cada comissão apresenta um número $x$ de alunos. $(2):$ Cada aluno pertence a duas comissões. $(3):$ A cada duas comissões existe um aluno em comum. $(4):$ Todos os alunos participam das comissões. $(5):$ Existem $y$ alunos na escola. Atente que, a afirmativa $(4)$ é necessária, pois, do contrário seria impossível definir o número de alunos da escola. Nesse viés, podemos começar já pensando no número total de alunos, existem formas pragmáticas a se pensar: $• \ \text{Combinação:}$ Observe as premissas $(1)$ e $(3)$, somando-se todas as comissões, teremos $15x$ alunos, entretanto, a cada duas comissões teremos um mesmo aluno. Com isso, quantas formas podemos escolher duas comissões de quinze existentes? Ora, é simplesmente $C_{15}^2$. Portanto, têm-se: \begin{matrix} y = 15x -C_{15}^2 &\therefore& y = 15 \cdot (x-7) \end{matrix} $• \ \text{Permutação:}$ O raciocínio é análogo ao anterior, mas pensando em permutações, no caso, precisamos escolher duas comissões, na primeira opção temos quinze possibilidades, já na segunda, quatorze, pois não podemos utilizar a mesma comissão anterior. Desse modo, não se esqueça que $C_1C_2$ é o mesmo que $C_2C_1$ nesse caso, logo, precisamos remover os casos repetidos, isto é o mesmo que dividir pelo número de permutações repetidas, como são duas escolhas permutando, têm-se $2!$. Analogamente, tem-se o resultado: \begin{matrix} y = 15x - {{\dfrac{15 \cdot 14}{2!}}} &\therefore& y = 15 \cdot (x-7) \end{matrix} $• \ \text{Sequências:}$ Veja novamente as premissas, vamos adotar $C_1, ..., C_{15}$, como cada comissão. Não distante, agora, atente a afirmativa $(3)$, ao partir de $C_1$, temos $x$ alunos únicos, ao contar agora os alunos únicos de $C_2$, temos $(x-1)$ alunos únicos, pois um certamente estará nas duas comissões. Continuando, em $C_3$ teremos $(x-2)$ alunos únicos, pois um com certeza também está em $C_1$, e outro também deve estar em $C_2$, e assim vai, até termos: \begin{matrix} y = \underbrace{x + (x-1) + (x-2) + ... + (x-14)}_{\text{progressão aritmética de razão -1}} &\Rightarrow& y = {{\dfrac{[(x) + (x-14)] \cdot 15}{2}}} &\therefore& y = 15 \cdot (x-7) \end{matrix}Nesse momento, deve-se ter conhecimento da afirmativa $(2)$ e $(4)$, visto que, como todos os alunos participam das comissões, e cada aluno participa de duas comissões, ao somar todos os alunos de cada comissão, certamente teremos o dobro de alunos, ou seja: \begin{matrix} y = {{\dfrac{15x}{2}}} &\Rightarrow& 15 \cdot (x-7) = {{\dfrac{15x}{2}}} &\therefore& x = 14 &\wedge& y = 105 \end{matrix}Em suma, as respostas são:\begin{matrix} \text{a) Há 105 alunos na escola.} &,& \text{b) Em cada comissão existem 14 alunos.} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ É notório que a ordem de raciocínio não importa muito, pois na nossa divisão em dois casos, ambos são independentes. $\color{royalblue}{Adendo:}$ Você poderia encontrar $x$ de uma forma mais prática no raciocínio por sequências, repare novamente nas premissas $(2)$ e $(4)$. Nesse contexto, pense no nosso último resultado da sequência: $(x-14)$, dele, removemos todos os alunos repetidos, e o que sobrou? Nada! Observe que, para sobrar algo, deveria existir algum aluno $a$ somente nesta comissão, e isso viola a afirmativa $(2)$, por absurdo, constata-se:\begin{matrix} x - 14 = 0 &\therefore& x = 14 \end{matrix}