Primeiramente, deve-se verificar se o resultado apresenta algum sentido, para isso, utilizemos um caso genérico como $n=1$, em que:\begin{matrix} (a+b)^1 = C_1^0a^1 + C_1^1b^1 = a+ b \end{matrix}Certo, já sabemos que de algum modo o resultado têm sentido, assim, por indução, para $n+1$:\begin{matrix} (a+b)^{n+1} = C_{n+1}^{0}a^{n+1} + C_{n+1}^{1}a^{n}b^{1} + \dots + C_{n+1}^{n}a^{1}b^{n} + C_{n+1}^{n+1}b^{n+1} \end{matrix}Conhecida a $\text{relação de Stifel}$:\begin{matrix} C_{n}^{n-1} + C_{n}^{n} = C_{n+1}^{n} \end{matrix}Vamos utiliza-la no resultado anterior, tal que: \begin{align*} (a+b)^{n+1} &= C_{n+1}^{0}a^{n+1} + C_{n+1}^{1}a^{n}b^{1} + \dots + C_{n+1}^{n}a^{1}b^{n} + C_{n+1}^{n+1}b^{n+1} \\ \\ & = C_{n}^{0} a^{n+1} + (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} )a^{n}b^1 + \dots + (C_{n}^{n-1} + C_{n}^{n} )a^{1}b^{n} + C_{n}^{n} b^{n+1} \\ \\ & = C_{n}^{0} (a^{n+1} + a^{n}b^1 ) + C_{n}^{1}(a^{n}b^1 + a^{n-1}b^2) + \dots + C_{n}^{n} (a^{1}b^{n} + b^{n+1}) \\ \\ & = C_{n}^{0} a^n(a^{1} + b^1 ) + C_{n}^{1}a^{n-1}b^1(a^{1} + b^1) + \dots + C_{n}^{n}b^n (a^{1} + b^{1}) \\ \\ & = (a+b)(C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n-1}b^{1} + \dots + C_{n}^{n-1}a^{1}b^{n-1} + C_{n}^{n}b^{n}) \\ \\ &= (a+b)(a+b)^n \end{align*}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $ C_{n+1}^{n+1}b^{n+1} = C_{n}^{n} b^{n+1} $ Portanto, o resultado segue para $n+1$, assim como está provado por indução.