No sistema de base $7$, podemos utilizar os números do $0$ ao $6$, com isso, têm-se: $• \ \text{Resolução I:}$ $\color{royalblue}{\text{Fixando um número}}$ Primeiramente, veja que o primeiro algarismo não pode ser zero, logo, temos cinco opções de números para o primeiro algarismo. Nesse viés, o maior problema é justamente o primeiro algarismo, então, fixemos um número nele, no caso, vamos fixar o número $1$. Nesse momento, pensando no segundo algarismo, ele pode ser todos os números, menos o número $1$, então há $6$ opções para o segundo algarismo. Já o terceiro, pode ser todos, menos o número $1$ e aquele que colocamos no segundo algarismo, logo, têm-se $5$ opções para o terceiro e último algarismo. Desse modo, com conhecimento do princípio fundamental da contagem, têm-se: \begin{matrix} [1] - \text{6 opções} \ - \text{5 opções} &\Rightarrow& 6\cdot 5 = 30 \ \text{números} \end{matrix} Repare que, este processo será repetido seis vezes, pois temos outros cinco números para fixar, em que o processo será idêntico. Portanto, denotemos de $n$ a quantidade de números possíveis, novamente, pelo princípio fundamental da contagem, têm-se: \begin{matrix} n = 6 \cdot (30) &\therefore& n = 180 \ \text{números} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $\color{royalblue}{\text{Generalizar (1)}}$ Uma forma comum de se resolver problemas em combinatória é generalizar e remover os casos impróprios, pois é um forma de simplificar inicialmente o problema. Nessa perspectiva, vamos pensar em todos os números com três algarismos diferentes na base $7$, mas agora, iremos contar o $0$ como possível no primeiro algarismo, assim:\begin{matrix} \text{7 opções} - \text{6 opções} \ - \text{5 opções} &\Rightarrow& 7\cdot 6\cdot 5 = 210 \ \text{números} \end{matrix} Claramente, acabamos por contar mais números do que deveríamos, para isso, precisamos remover os números que contém o $0$ no primeiro algarismo. Ora, mas fazer isso é exatamente o que fizemos anteriormente, partindo da mesma premissa anterior, têm-se: \begin{matrix} [0] - \text{6 opções} \ - \text{5 opções} &\Rightarrow& 6\cdot 5 = 30 \ \text{números}\end{matrix} Então $n$, será: \begin{matrix} n = 210 - 30 &\therefore& n = 180 \ \text{números} \end{matrix} $• \ \text{Resolução III:}$ $\color{royalblue}{\text{Generalizar (2) }}$ Existem diversas formas de você generalizar um problema, anteriormente, generalizamos o primeiro algarismo, mas porquê não generalizar os outros dois algarismos agora? Pois bem, é claro que quanto mais se generaliza, normalmente, mais casos impróprios devem ser removidos, por isso, generalizar todos os algarismos não é a melhor saída, entretanto, ainda é uma saída. Nesse contexto, vamos generalizar os dois algarismos, mas manter que o primeiro deve ser diferente de zero, então, têm-se: \begin{matrix} \text{6 opções} - \text{7 opções} \ - \text{7 opções} &\Rightarrow& 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294 \ \text{números} \end{matrix} Com certeza precisamos remover mais casos, mas quais? Repare que, contamos dois tipos de casos impróprios, o primeiro é que contamos números com três algarismos iguais, como $111$, $222$ e entre outros. Já o segundo tipo, são números com dois algarismos repetidos, como o $122$, $133$ e assim vai. Analisando o primeiro tipo de caso, não é difícil encontrar $6$ casos impróprios, um com cada número possível. Por outro lado, o segundo tipo de caso é menos óbvio, mas se você leu a primeira resolução, provavelmente já deve ter ideia de como resolver, todavia, vamos pensar de uma forma menos programática. Paulatinamente, temos seis números para o primeiro algarismo, já para os outros dois algarismos, temos outros seis números, atente que, os dois algarismos se comportam como um, pois são seis números, os quais o número escolhido deve ser posto nos dois lugares. Continuando, perceba que existem ainda três casos diferentes para dois algarismos iguais, exemplo: $122-121-112$. Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, têm-se o total de casos impróprios $i$ como: \begin{matrix} i = \underbrace{6 \cdot 1}_{\text{3 algarismos iguais}} + \underbrace{6 \cdot 6 \cdot 3}_{\text{2 algarismos iguais}} = 114 \ \text{números} \end{matrix}Portanto: \begin{matrix} n = 294 - i &\therefore& n = 180 \ \text{números} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Ainda é possível generalizar mais e responder esta questão de outras inúmeras formas, um bom exercício para combinatória - e da matemática em geral - é sempre tentar saídas diferentes.